Понятие и виды корреляции

Определение корреляции. Корреляция представляет собой меру зависимости переменных. Наиболее известна корреляция Пирсона. При вычислении корреляции Пирсона предполагается, что переменные измерены, как минимум, в интервальной шкале. Некоторые другие коэффициенты корреляции могут быть вычислены для менее информативных шкал. Коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1.00 до +1.00. Обратите внимание на крайние значения коэффициента корреляции. Значение -1.00 означает, что переменные имеют строгую отрицательную корреляцию. Значение +1.00 означает, что переменные имеют строгую положительную корреляцию. Отметим, что значение 0.00 означает отсутствие корреляции.

Наиболее часто используемый коэффициент корреляции Пирсона r называется также линейной корреляцией, т.к. измеряет степень линейных связей между переменными.

Простая линейная корреляция (Пирсона r). Корреляция Пирсона (далее называемая просто корреляцией) предполагает, что две рассматриваемые переменные измерены, по крайней мере, в интервальной шкале. Она определяет степень, с которой значения двух переменных “пропорциональны” друг другу. Важно, что значение коэффициента корреляции не зависит от масштаба измерения. Например, корреляция между ростом и весом будет одной и той же, независимо от того, проводились измерения в дюймах и фунтах или в сантиметрах и килограммах. Пропорциональность означает просто линейную зависимость. Корреляция высокая, если на графике зависимость “можно представить” прямой линией (с положительным или отрицательным углом наклона).

Проведенная прямая называется прямой регрессии или прямой, построенной методом наименьших квадратов. Последний термин связан с тем, что сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от наблюдаемых точек до прямой является минимальной. Заметим, что использование квадратов расстояний приводит к тому, что оценки параметров прямой сильно реагируют на выбросы.

Как интерпретировать значения корреляций. Коэффициент корреляции Пирсона (r) представляет собой меру линейной зависимости двух переменных. Если возвести его в квадрат, то полученное значение коэффициента детерминации r2) представляет долю вариации, общую для двух переменных (иными словами, “степень” зависимости или связанности двух переменных). Чтобы оценить зависимость между переменными, нужно знать как “величину” корреляции, так и ее значимость.

Значимость корреляций. Уровень значимости, вычисленный для каждой корреляции, представляет собой главный источник информации о надежности корреляции. Как объяснялось выше, значимость определенного коэффициента корреляции зависит от объема выборок. Критерий значимости основывается на предположении, что распределение остатков (т.е. отклонений наблюдений от регрессионной прямой) для зависимой переменной y является нормальным (с постоянной дисперсией для всех значений независимой переменной x). Исследования методом Монте-Карло показали, что нарушение этих условий не является абсолютно критичным, если размеры выборки не слишком малы, а отклонения от нормальности не очень большие. Тем не менее, имеется несколько серьезных опасностей, о которых следует знать, для этого см. следующие разделы.

Выбросы. По определению, выбросы являются нетипичными, резко выделяющимися наблюдениями. Так как при построении прямой регрессии используется сумма квадратов расстояний наблюдаемых точек до прямой, то выбросы могут существенно повлиять на наклон прямой и, следовательно, на значение коэффициента корреляции. Поэтому единичный выброс (значение которого возводится в квадрат) способен существенно изменить наклон прямой и, следовательно, значение корреляции.

Заметим, что если размер выборки относительно мал, то добавление или исключение некоторых данных (которые, возможно, не являются “выбросами”, как в предыдущем примере) способно оказать существенное влияние на прямую регресии (и коэффициент корреляции). Это показано в следующем примере, где мы назвали исключенные точки “выбросами”; хотя, возможно, они являются не выбросами, а экстремальными значениями.

Обычно считается, что выбросы представляют собой случайную ошибку, которую следует контролировать. К сожалению, не существует общепринятого метода автоматического удаления выбросов. Чтобы не быть введенными в заблуждение полученными значениями, необходимо проверить на диаграмме рассеяния каждый важный случай значимой корреляции. Очевидно, выбросы могут не только искусственно увеличить значение коэффициента корреляции, но также реально уменьшить существующую корреляцию.

Количественный подход к выбросам. Некоторые исследователи применяют численные методы удаления выбросов. Например, исключаются значения, которые выходят за границы ±2 стандартных отклонений (и даже ±1.5 стандартных отклонений) вокруг выборочного среднего. В ряде случаев такая “чистка” данных абсолютно необходима. Например, при изучении реакции в когнитивной психологии, даже если почти все значения экспериментальных данных лежат в диапазоне 300-700 миллисекунд, то несколько “странных времен реакции” 10-15 секунд совершенно меняют общую картину. К сожалению, в общем случае, определение выбросов субъективно, и решение должно приниматься индивидуально в каждом эксперименте (с учетом особенностей эксперимента или “сложившейся практики” в данной области). Следует заметить, что в некоторых случаях относительная частота выбросов к численности групп может быть исследована и разумно проинтерпретирована с точки зрения самой организации эксперимента.

Корреляции в неоднородных группах. Отсутствие однородности в выборке также является фактором, смещающим (в ту или иную сторону) выборочную корреляцию. Представьте ситуацию, когда коэффициент корреляции вычислен по данным, которые поступили из двух различных экспериментальных групп, что, однако, было проигнорировано при вычислениях. Далее, пусть действия экспериментатора в одной из групп увеличивают значения обеих коррелированных величин, и ,таким образом, данные каждой группы сильно различаются на диаграмме рассеяния.

В подобных ситуациях высокая корреляция может быть следствием разбиения данных на две группы, а вовсе не отражать “истинную” зависимость между двумя переменными, которая может практически отсутствовать (это можно заметить, взглянув на каждую группу отдельно).

Если вы допускаете такое явление и знаете, как определить “подмножества” данных, попытайтесь вычислить корреляции отдельно для каждого множества. Если вам неясно, как определить подмножества, попытайтесь применить многомерные методы разведочного анализа (например, Кластерный анализ).

Запись опубликована в рубрике Статистика, Точные науки. Добавьте в закладки постоянную ссылку.